HMF 7 - Lösung


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Aufgabe 1 orthogonal zur Ebene

Damit die Gerade \(g_a\) orthogonal zur Ebene \(E_a\) verläuft, muss der Richtungsvektor \(\vec{v}\) der Geraden parallel zum Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene liegen. Das wäre der Fall, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors wäre. Es gilt dann

\( \quad \begin{array}{ r c l } \vec{v} & = & k \cdot \vec{n} \\[10pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{rc} 1 \\ 2 + a \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & k \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{rc} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{array} \)

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Daraus ergibt sich das Gleichungssystem

\( \quad \begin{array}{ r c c r } \textrm{I} \quad & 1 & = & k \\[6pt] \textrm{II} \quad & 2 + a & = & 2 k \\[6pt] \textrm{III} \quad & -3 & = & k \\ \end{array} \)

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Gleichung \(\textrm{I}\) und Gleichung \(\textrm{III}\) stehen im Widerspruch zueinander, denn \(k\) kann nicht gleichzeitig \(1\) und \(-3\) sein. Folglich gibt es keine Zahl \(a\) dafür, dass die Gerade \(g_a\) orthogonal zur Ebene \(E_a\) verläuft.

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 gemeinsamer Punkt

Verläuft die Gerade \(g_a\) parallel zur Ebene \(E_a\), so ergeben sich keine gemeinsamen Punkte.

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Zu überprüfen ist zum einen, ob Punkt \(Z\) in der Ebene liegt und zum anderen ist ein Richtungsvektor \(\vec{u}\) zu bestimmen, sofern \(Z\) nicht in der Ebene liegt, der orthogonal zum Normalenvektor \(\vec{n}\) ist.

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Punktprobe :

\(\quad \begin{array}{ r c l l } 1 + 2 \cdot 0 + a \cdot 0 & = & 5 \\[6pt] 1 & = & 5 \\ \end{array} \)

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Die Gleichung ist falsch. Damit ist der \(Z\) kein Punkt der Ebene \(E_a\).

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Orthogonalität :

Sind die Vektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{n}\) orthogonal zueinander, so muss ihr Skalarprodukt Null ergeben.

\(\quad \begin{array}{ r c l l } \vec{u} \circ \vec{n} & = & 0 \\[10pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 + a \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \circ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ a \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = & 0 \\[25pt] 1 \cdot 1 + (2 + a) \cdot 2 - 3 \cdot a & = & 0 \\[6pt] 1 + 4 + 2a - 3a & = & 0 \\[6pt] 5 - a & = & 0 & | + a \\[6pt] 5 & = & a \\ \end{array} \)

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Mit dem Wert \(a = 5\) gibt es keinen gemeinsamen Punkt der Geraden \(g_a\) und der Ebene \(E_a\).

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